При формировании изображения сверхвысокого разрешения с использованием технологии моделирования группировки спутников с учетом возникающих сингулярностей в результатах необходимого синтеза и оптимизации частотно-контрастной характеристики (ЧКХ) трактов зондирования целесообразно модифицировать известные математические подходы, в том числе правила применимости основных принципов теоремы Котельникова дискретизации функций для согласования условий сходимости итеративных операторов деконволюции изображений и условий моделирования сингулярных выбросов на ЧКХ функциями с финитными спектрами.
Улучшение и восстановление резкости и, соответственно, пространственного разрешения при формировании изображения со сверхразрешением, особенно на паттернах группировок спутников, зависит от результатов деконволюции зарегистрированных или сформированных изображений в виртуальном тракте дистанционного зондирования или для каждого аппарата (Винтаев, Ушакова, 2018). При этом ЧКХ тракта позволяет определить ядро интегрального фильтра Винера-Тихонова методом возмущения уравнения Фредгольма, записанного с первично замеренной функцией рассеяния точки на изображении (на сравнении опорных ориентиров и эталонов), причем с реализацией продолжения пространственно-частотных спектров (ПЧС) изображений с минимальными искажениями их измерительных свойств.
ЧКХ при этом синтезируется отношением ПЧС зарегистрированного изображения к ПЧС корректируемого изображения, а оптимизация ЧКХ заключается в соответствующей предобработке этих изображений так, чтобы огибающую ЧКХ можно было как можно лучше приблизить к квазипрямоугольной форме окна пропускания пространственных мод ПЧС на любом азимутальном ее срезе, не вызывая перерождения процесса деконволюции в процессы контрастирования изображения, визуально принимаемые за улучшение резкости. Оптимизация ЧКХ является многопараметрической и необходимым, но недостаточным условием для выполнения коррекции резкости в технологии сверхвысокого разрешения, т.к. реализуется системой неравенств (на принципах Нэша и Парето), поэтому и синтезируется на основе ЧКХ итеративный оператор деконволюции с проверкой при его сходимости к заданной погрешности на каждом этапе отсутствия нарушения уровня валидности корректируемого изображения или критериев ненарушения его измерительных свойств. В противном случае в соответствии с теоремой Агеева внутри интервала заданной погрешности может существовать достаточно большое количество изображений – результатов деконволюции, различающихся модами ПЧС, но сходных по резкости.
Сингулярные значения возникают в ЧКХ из-за того, что используемый для синтеза ЧКХ в знаменателе отношения ПЧС (первично или на этапе итераций) корректируемого изображения может иметь достаточное количество нулей. Методы регуляризации (замена нулей стремящимися к нулю параметрами (регуляризация Тихонова) или игнорирование соответствующих пространственных частот в решаемой задаче с уменьшением в пределе полос «игнорирования») приводят всего лишь к близкому к «истине» решению, которое не может удовлетворить требованиям, предъявляемым к технологии сверхвысокого разрешения.
Предложен метод представления упомянутых сингулярностей моделями обобщенных сингулярных на мере нуль функций с финитными спектрами, парциальная свертка изображений с которыми при их подстановке в конечную формулу итеративной коррекции резкости (формулу Ван Циттера) дает решение по деконволюции с минимально возможными возмущениями измерительных характеристик обрабатываемых изображений. При этом необходимо увеличивать частоту дискретизации изображений и ядер интегральных операторов в соответствии с теоремой Котельникова, выбирая ее из условия согласования с верхней модой ПЧС модели сингулярной на мере нуль функции и отслеживая взаимосвязь критериев сходимости итеративного оператора деконволюции изображения (Винтаев, Ушакова, 2018).
Разработанная израильскими специалистами технология формирования изображения сверхвысокого разрешения Iterative Back Projection (IBP) (Ушакова, 2016) прописанным в технологии оператором проектирования F, порождающим связанные системы уравнений для пикселов формируемых изображений, позволяет для аппаратов с серией каналов , подобных поочередно инициируемым трем каналам спутника типа «Ресурс ДК», находить субпиксельные взаимные сдвиги при совмещениях изображений каналов и, соответственно, синтезировать порождающие операторы F для применения метода IBP с формированием виртуального тракта с изображением со сверхразрешением.
При формировании виртуального канала с моделированием группировки из изображений каналов аппарата «Ресурс ДК»(фрагмент г. Рота, Испания) частота дискретизации (при передискретизации на основе интерполяции) изображений и дискретного представления операторов деконволюции выбиралась из условия согласования с верхней модой ПЧС модели сингулярной на мере нуль функции в 9 раз выше дискретизации исходных изображений и корректировалась в сторону увеличения в зависимости от достижимости требуемой погрешности сходимости итеративного оператора деконволюции изображения.
Радиус ПЧС изображения со сверхразрешением относительно радиуса ПЧС исходного панхроматического изображения увеличен в 1,7 раза. Это меньше, чем полученные на соответствующих моделях ранее результаты от 2 до 4 раз увеличения радиуса ПЧС и, соответственно, пространственного разрешения по Фуко. На снижении профита технологии сверхразрешения сказывается отсутствие необходимого для виртуального двумерного паттерна четвертого независимого канала зондирования ареала и сам факт совмещения трех пространственно разнесенных изображений с аппарата: на изображение, формируемое фотоприёмными устройствами, существенное влияние оказывают параметры движения спутника. Исходя из параметров этих движений, предложено условное разделение по их источникам на статические, кинематические и динамические. Такая формализация источников воздействий и их проявлений позволяет структурировать задачу получения численных оценок результатов космической съёмки, относя их к определённому уровню качества изображения, и обозначить возможности и пределы использования формируемых изображений в технологии сверхразрешения (Макриденко и др., 2017).
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ) в рамках научного проекта № 16-07-00177 «Разработка теоретических основ методов моделирования реализации предельно достижимых характеристик сверхвысокого пространственного и спектрального разрешения в стволах дистанционного зондирования с космических платформ».