Материалы 17-й Всероссийской открытой конференции «Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса», Москва, ИКИ РАН, 2019 год

(http://conf.rse.geosmis.ru)

Символические вычисления с помощью расширенных чисел и их применения в области космического мониторинга

Рихтер А.А. (1)
(1) НИИ "АЭРОКОСМОС", Москва, Российская Федерация
Для удобства калькуляции символических выражений (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, дифференцирования или интегрирования, композиции, операции отношений и др.) их можно отобразить в многочлены, а те в свою очередь – в расширенные числа либо в большие арифметические числа (гуггологизмы). Цифры расширенных чисел - также расширенные числа, но меньшего порядка (коэффициенты многочлена от меньшего количества переменных). Примеры расширенных чисел - арифметические числа, гиперкомплексные числа и др.
Элементарные функции раскладываются в ряды Маклорена и аппроксимируются многочленами, которые отображаются в рациональные расширенные числа (по аналогии с рациональными арифметическими числами, в которых десятичная часть числа имеет период). Делению многочлена на многочлен также соответствует рациональное расширенное число, а возведению многочлена в рациональную степень – предположительно иррациональное (с отсутствием целой или дробной частей числа, описываемых детерминированными функциями), округляемое до рационального или целого.
Для возможности обработки информации на том или ином уровне возникает потребность в символических вычислениях. В частности, в области обработки аэрокосмической информации – при реставрации и геометрических преобразованиях изображений, кодировании информации, морфологической обработке, аппроксимации и интерполяции, регрессионном анализе и прогнозировании. Например, символическая калькуляция на базе многочленов и расширенных чисел как от одной, так и от большего числа переменных применима в технологии полиномиального, циклического кодирования, шифрования текстового сообщения используются примитивные многочлены. Функцию, приближаемую многочленом, можно отобразить в расширенное число, поэтому распознавание фигур объектов на спутниковых снимках проводится сравнением числа контура дешифрируемого объекта с числом эталонной фигуры. Преобразования сигналов (двухмерных, трёхмерных и др.) по некоторой функциональной цепи также выполнимо расчётом расширенного числа этой цепи.
Исследования проведены в рамках проекта Минобрнауки РФ № RFMEFI58317X0061.

Ключевые слова: алгебраическое выражение, символическое вычисление, числа, адели, гуггологизмы, цифровая обработка
Литература:
  1. Теляковский С.А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна и многочленами Канторовича / Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 2008. - Т. 260. - С. 289-296.
  2. Шноль Э.Э. О приближении функций однородными многочленами и о рядах по однородным многочленам / Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 1978. - № 120. - С. 1-16.
  3. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и точное представление многочленов от нескольких переменных суперпозициями многочленов от одного переменного / Известия высших учебных заведений. Математика. - 1998. - № 5. - С. 6-9.
  4. Шабат Г.Б. Метризованные ленточные графы и абелевы многочлены / В книге: Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения = Algebra and number theory: modern problems and application : тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003. - С. 244-246.
  5. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Физматлит. – 1979. – 260 с.
  6. Казарян М.Л., Рихтер А.А., Шахраманьян М.А. Матричный и символический калькуляторы и их применение в цифровой обработке космических изображений // Информация и космос. - 2019, № 3 (9). - С. 64-72.
  7. Казарян М.Л., Рихтер А.А., Шахраманьян М.А. Символические вычисления многочленов при разработке калькулятора расширенных чисел / Информация и космос. – 2020, № 1 (в печати).
  8. Santi Tasena. Polynomial copula transformations / International Journal of Approximate Reasoning. – 2019. - V. 107. - P. 65-78.

Презентация доклада

Методы и алгоритмы обработки спутниковых данных

54