Постановка граничных условий на открытых границах является одной из актуальных проблем математического моделирования гидротермодинамики открытых акваторий. Вариационная ассимиляция данных – один из методов, позволяющих учесть жидкие границы в моделях. Идея метода, используемого в настоящей работе, состоит в том, чтобы, имея данные наблюдений в некоторый момент времени, рассматривать задачу как обратную, в которой дополнительными неизвестными являются функции потоков через открытую границу.

В работе (Agoshkov, 2017) сформулирован класс обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений, связанных с математическим моделированием гидрофизических полей в акваториях (морях и океанах) при наличии открытых границ, в применении к модели гидротермодинамики, основанной на системе уравнений в «приближении Буссинеска и гидростатики». Для аппроксимации модели по времени был использован метод расщепления, что позволило рассматривать задачу ассимиляции данных для нелинейной модели гидротермодинамики на каждом интервале по времени, решая последовательно более простые задачи ассимиляции, привлекая соответствующие изменяющимся переменным данные наблюдений. Был поставлен класс обратных задач о «граничных функциях», определяющих граничные условия на открытых границах и была исследована разрешимость ряда задач из этого класса, а также предложены алгоритмы их численного решения на основе вариационной ассимиляции данных наблюдений.

В настоящей работе метод, исследованный в работе (Agoshkov, 2017), был использован для учета потока соленой воды через открытую границу в модели гидротермодинамики Балтийского моря. Для этого был сформулирован алгоритм восстановления неизвестной функции в граничных условиях на открытых границах в задаче конвекции-диффузии для солености, основанный на теории обратных задач и задач вариационной ассимиляции данных наблюдений. Решение задачи конвекции-диффузии для солености является одним из шагов метода расщепления, упомянутого ранее. В работе предполагается, что имеются данные о солености на открытой границе, которые могут быть данными наблюдений, полученными с погружающихся буев и прибрежных станций, а могут быть данными, полученными из расчетов по моделям акваторий большего размера. Для формулировки алгоритма и исследования его сходимости были использованы результаты, полученные ранее для задачи вариационной ассимиляции данных о температуре на открытой границе
(Agoshkov et. al., 2017). Алгоритм был применен в модели гидротермодинамики Балтийского моря (Zalesny et. al., 2014), разработанной в ИВМ РАН на базе модели INMOM. Учет граничных условий на открытых границах для солености в Балтийском море особенно важен, поскольку соленость Балтийского моря во многом определяется поступлением высокосоленых североморских вод. Приведены результаты численного эксперимента по моделированию большого балтийского затока, произошедшего в декабре 2014 года (Тихонова и др., 2018), показывающие, что использование алгоритма оказывает значительное влияние на результаты моделирования данного природного явления.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 19-01-00595, в рамках которого сформулирован алгоритм), а также РНФ (грант 20-11-20057), в рамках которого проведены численные эксперименты.