Применение спектрального анализа для прогноза солнечной активности

Проблема прогнозирования поведения физической системы с множеством взаимодействующих и развивающихся нелинейных процессов является очень распространенной во многих областях, таких как изменение климата, атмосфера, динамика океана и другие. Расхождения между модельными решениями и наблюдениями существенно ограничивают или даже препятствуют построению надежных прогнозов. Причиной этих расхождений является неполнота моделей, а также и недостаток наблюдений и их ошибки. Анализ и сравнение наблюдений с параметрами моделей на основе статистических методов, позволяют установить корреляционные связи между наблюдениями и модельными значениями с целью экстраполяции. Неопределенность прогнозирования обусловлена степенью адекватности модели. В последнее время при прогнозе солнечной активности широко используется модель магнитного поля, модифицированный фильтр Калмана(Kalman 1960), метод ассимиляции данных (DA) и метод EnKF (Evensen 1997, Kalnay 2002) [1-7]. Эти методы использованы в работах Китиашвили [6,7] для прогноза 23-25 циклов солнечной активности. Предполагается, что синоптические магнитограммы содержат знания об эволюции магнитных полей на солнечной поверхности и представляют важную информацию для прогнозирования будущей солнечной активности. Было показано, что предсказанное тороидальное поле находится в хорошем согласии с наблюдениями в течение почти всего следующего цикла солнечной активности, а предсказания полоидального поля согласуются с наблюдениями только в течение первых 2-3 лет предсказанного цикла. На основе модели магнитных полей получен прогноз развития магнитной активности, который затем методами корреляционного анализа и ассимиляции данных переносится на солнечную активность – ряды чисел Вольфа. Солнечный максимум 25-го цикла (SC25), ожидается слабее, чем в 24-м цикле (SC24), солнечный максимум наступит в 2024-2025 годах и, вероятнее всего, будет иметь два максимума, аналогично 24-му циклу. Число солнечных пятен во время максимума составит около 50 с погрешностью в 15%-30%. Эти результаты получены из анализа последних четырех циклов солнечной активности.
В настоящей работе предложен прогноз солнечных пятен для 24 и 25 солнечных циклов, полученный методом спектрального анализа с использованием данных измерений чисел Вольфа за 200 лет и метода ассимиляции данных (DA).Представление данных измерений в виде суммы отдельных спектральных составляющих, ответственных за различные временные периоды, позволило прогнозировать последние на различные временные периоды солнечной активности. Метод ассимиляции данных используется для улучшения точности прогноза по амплитуде и первой производной, определяя скорость подъема или спада солнечной активности. Данные наблюдения представлены в виде дискретных отсчетов на конечном временном интервале. А конечные отсчеты экспериментальных данных следует считать точками разрыва. Здесь речь идет о финитных сигналах и о влиянии точек разрыва на аппроксимацию разрывных функций. Процесс прогнозирования связан с проблемой аппроксимации разрывных функций, явлением Гиббса, которое, имеет место при любом типе аппроксимационных функций. Прогнозируемая функция должна иметь финитный спектр. С помощью рядов Фурье проведено исследование каждой спектральной составляющей в отдельности, что существенным образом упрощает их описание и прогноз. В солнечных и ионосферных процессах, возможны составляющие с периодами, дающими существенный вклад в общую картину явления, которые не могут считаться величиной бесконечномалой. В этом случае разложение в ряды Фурье требует учета большого числа составляющих. Авторами была разработана оригинальная методика прогноза с использованием рядов Фурье, цифровой фильтрации с помощью фильтров Чебышева и представлением сложного процесса как модулированного и последующей демодуляцией [ 8,9]. В настоящей работе мы применили этот метод для прогноза 24-го и 25-го солнечных циклов.
Для любого метода прогнозирования необходимо выяснить механизм передачи информации. в область будущего времени, что позволяет судить об адекватности использования метода прогнозирования. Качество экспериментальных данных, заданных в виде конечного ряда дискретных отсчетов, также имеет определяющее значение для адекватности решения прогностических задач [8,9].
Рассмотрено влияние экспериментальных данных на прогнозирование методом экстраполяции. При построении алгоритма экстраполяции учитывались свойства разложения функции в ряд Тейлора. Сама формула ряда может быть использована в качестве алгоритма экстраполяции. Условие разложения в ряд Тейлора может быть использовано в качестве условия прогнозирования: «Функция прогнозируема, если она непрерывна и имеет производные до n-го порядка». Если функция представлена в виде дискретного ряда, то для получения алгоритма экстраполяции дискретную функцию следует восстановить в непрерывную форму. Любой реальный процесс с достаточной точностью может быть представлен моделью,состоящей из суммы отдельных составляющих, без каких-либо ограничений ее спектрального состава.
Спектральный анализ позволяет представить исследуемый ограниченный во времени процесс как модулированный. Прогноз модулированного сигнала - это прогноз функции с разрывом. Аппроксимация разрывных функций приводит к явлению Гиббса. Явление Гиббса при аппроксимации конечной выборки дискретных отсчетов приводит к появлению ложных колебаний из-за мимикрии частот. Паразитные колебания пагубно влияют на процесс прогнозирования. Анализируя представленную информацию, можно сделать заключение, что ни один из существующих методов прогнозирования не свободен от пагубного влияния явления Гиббса. Ограниченность синусоиды во времени приводит к бесконечности спектра с периодом ( -интервал дискретизации). Спектр ограниченной синусоиды представляет свертку единичной прямоугольной функции с дельта-функцией. Для восстановления процесса по дискретным отсчетам мы используем аппроксимацию результатов наблюдения, полученных на ограниченном интервале, т.е. проводим демодуляцию вместо принятого построения регрессионной кривой, наилучшим способом проходящей через отсчеты процесса. Демодуляции строится на использовании тригонометрического тождества, которое идентично утверждению: «произведение двух ограниченных по спектру функций имеет симметричный ограниченный спектр». Это идентично замене прямоугольной выделяющей функции на функцию с ограниченным спектром, тогда спектр отрезка синусоиды становится симметричным, и такая замена приводит к подавлению боковых лепестков.
Следствием, приведенного выше утверждения является предложенная схема демодуляции: «если известно произведение двух ограниченных по спектру функций, которое имеет симметричный ограниченный спектр, а также известна одна из ограниченных по спектру функций, то неизвестная функция, ограниченная по спектру, например, из приведенного тождества, может быть получена путем деления». Предложенная схема демодуляции позволяет решать задачи восстановления в непрерывную форму процесса, представленного в виде конечного числа дискретных отсчетов, и получать многие важные приложения, такие как методы интерполяции, дифференцирования, экстраполяции, интегрирования и др. Умножение на выделяющую функцию, имеющую ограниченный спектр, применяется в спектральном анализе для подавления боковых лепестков. Восстановление проводится с помощью конечного ряда Котельникова (КРК), являющимся аналогом интеграла Фурье для дискретного задания функции. По сравнению с дискретным преобразованием Фурье, спектр КРК обладает слабой зависимостью от частоты исходного процесса.
Использование ряда Тейлора позволило получить алгоритм экстраполяции.
Анализ полученного алгоритма позволяет утверждать, что механизмом передачи информации в область будущего времени являются колебания Гиббса. Колебания Гиббса несут информацию о каждом отсчете, полученном до текущего момента и участвующем в процессе прогнозирования. Механизмом переноса информации в область будущего времени являются колебания Гиббса.
Изложенные принципы и построенные на них алгоритмы восстановления дискретного процесса в непрерывный, расчет производной дискретного процесса и его экстраполяция были использованы для прогноза солнечной активности в 24 и 25 циклах, опираясь только на данные чисел Вольфа за весь двухсотлетний период наблюдения. Результаты спектрального анализа отдельных составляющих разложения Фурье позволили оценить влияние вековой или медленноменяющейся составляющей на одиннадцатилетние циклы и величину их максимумов и длительность.
Прогноз такого сложного сигнала, каким является солнечная активность может быть возможен только для отдельных составляющих. Сам прогноз на сегодня – не решенная проблема аппроксимации разрывных функций, которыми являются ряды измеренных данных. На концах подобного ряда данных возникают колебания, связанные с разрывом. Эти колебания приводят к ошибкам, делающим прогноз бессмысленным. Приведенные ниже результаты основаны на прогнозировании ограниченных по спектру функций. Прогноз наиболее адекватен, когда процесс представляется суммой гармонических составляющих и случайного шума. Таким образом, прогнозировать следует отдельные составляющие процесса, ограниченные по спектру, для которых применим спектральный анализ. [8,9]. Экстраполяция данных позволяет получить тенденцию изменения солнечной активности на 30 отсчетов с ценой деления 160 суток, что составляет ближайший 13-летний период.
Сравнения, полученных с помощью экстраполяции солнечных данных, результатов прогноза формы 25-го цикла с различными формами циклов солнечной активности,, по данным, приведенным в работе [2] ,показало хорошее согласие со средним солнечным циклом. Из медленноменяющейся составляющей определяется тенденция для прогнозируемого цикла.Например, для 25-го цикла уменьшение его маловероятно. Или проводим экстраполяцию медленноменяющейся составляющей. Вначале прогнозируется низкочастотная составляющая. Далее отыскивается на всем интервале известных значений прогнозируемого процесса подходящий участок.. Сравнению подвергается процесс, полученный путем вычитания из исходного процесса его низкочастотной составляющей. Сравнение проводится как по амплитуде процесса, так и по его производной. В идеальном случае сравнение следует проводить вплоть до n-ой производной. Для выделения составляющих с различными периодами используем многокаскадную фильтрацию во временной и частотной области. . Для выбора подобных циклов применен метод ассоциативного поиска или ассимиляции данных, известных в литературе как data assimilation (DA) [6], получивший широкое распространение в 20 веке, накопления систематических наблюдений за сложными процессами погоды, климата, создания моделей ионосферных процессов и жизни солнечных циклов. В том случае, когда параметры сравнения совпадают, можно считать, что также совпадают участки процесса, следующие за объектами сравнения. В нашем случае ограничимся сравнением первых производных
Исследования первых производных показали, что ниспадающий участок в 23-м цикле подобен аналогичному участку 11-го цикла. Из соотношения подобия мы предположили, что 24-й цикл будет развиваться аналогично 12-му: т.е. максимум 24 –го цикла будет ниже 23-го, как и максимум 12-го цикла ниже максимума 11-го цикла. Таким образом, прототипом 24-го цикла может служить цикл 12. Расчет производных 11-12 циклов и 23 цикла, показывает удовлетворительное согласие. В зависимости от коэффициентов экстраполяции выбираются наиболее подходящие значения.
Из сравнения кривых следует хорошее согласие данных экстраполяции на восходящей ветви и оценки величины максимума с наблюдаемыми данными солнечной активности. Ошибка возрастает на нисходящей кривой и в основном связана с оценкой длительности цикла.
Использование многокаскадной цифровой фильтрации позволяет проводить анализ и экстраполяцию длинных рядов данных с целью прогноза на примере циклов солнечной активности. Использование спектрального анализа и чебышевской фильтрации позволяет прогнозировать низкочастотную составляющую на 1-2 года, а также вековую составляющую на период нескольких циклов. Полученные нами данные находятся в согласии с многолетними исследованиями и могут быть использованы для оперативного прогноза солнечной активности. В нашем прогнозе 25 –го цикла возрастающая фаза также будет длиться около 5 лет и значения чисел Вольфа в максимуме не превысят 100. Полученные нами данные находятся в согласии с многолетними исследованиями, а метод спектрального анализа, демодуляции и чебышевской фильтрации могут быть использованы для оперативного прогноза солнечной и ионосферной активности.