Аналитическое описание траекторий в поле течения с однородной завихренностью и бесконечного набегающего потока

Исследуется поведение траекторий в поле стационарного течения, представляющего собой суперпозицию бесконечного набегающего потока и фиксированного в пространстве вихревого движения с постоянной завихренностью. Такие системы могут рассматриваться в приложении к задачам дистанционного зондирования, в частности, при интерпретации результатов наблюдения вихревых течений в океане. Аналитически исследуется система уравнений, описывающая плоское течение в приближении несжимаемой жидкости и в предположении о пространственно-однородной отрицательной дивергенции поля скорости (вертикальный сток вещества). Исходная система уравнений записывается в полярной системе координат, связанной с центром вращения вихревого движения. Решение полученной на промежуточном этапе нелинейной системы, определяющей семейство траекторий потока, может быть получено с помощью введения дополнительного комплексного аргумента. Предельные точки траекторий, описываемых исходной системой дифференциальных уравнений, могут быть найдены явно, и отражают координаты точки устойчивости течения, определяемые параметрами системы, в том числе, величиной набегающего потока. Дальнейший переход от полярной системы координат, связанной с центром вихревого движения, к полярной системе координат, связанной с полученной точкой устойчивости, позволяет упростить решение и исключить из него зависимость от величины набегающего потока. Показано, что в этой системе отсчета траектория со временем приближается к центру по экспоненциальному закону, а показатель экспоненты пропорционален величине однородной двумерной дивергенции. Таким образом, аналитически показано, что величина потока определяет положение точки устойчивости, при этом не меняя характер поведения траекторий относительно этой точки.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-72-30028 (https://rscf.ru/project/19-72-30028/).