Критические сети для цифровых изображений

В докладе обсуждается топологический дескриптор для анализа и диагностики цифровых ландшафтов. Обычно, в качестве характеристики сложности топографических полей рассматривают множество критических Морсовских точек поля: максимумов, минимумов и седел. Если речь идет о цифровых изображениях, то эти точки определяются двумя условиями. Первое из них – обращение в нуль градиента некоторой меры или емкости, определенной на дискретном носителе. Второе, существование в этих пикселях невырожденного гессиана - матрицы вторых производных. Число отрицательных собственных значений гессиана определяет индекс критической точки. Альтернированная сумма всех индексов внутри компактной области является ее Эйлеровой характеристикой. Связный граф, построенный на критических точках, называют графом Морса. Его упрощенный вариант – граф Риба.
На практике, вычисление градиента по цифровому изображении связано с рядом трудностей. Однако, если отказаться от седловых точек, максимумы и минимумы цифрового изображения можно получить с помощью интегральной операции свертки. Применение свертки цифрового изображения с гауссовским ядром, для компакта, приводит к задаче Неймана для уравнения диффузии. При этом, производная по времени заменяется производной по дисперсии ядра. Такое представление изображения известно как Scale-Space. Если аппроксимировать частную производную по дисперсии разностью двух изображений – исходного и свернутого, мы сразу получаем лапласиан, т.е. матрицу вторых производных магнитограммы. Лапласиан позволяет построить так называемый граф критических точек. Он является устойчивым относительно искажений и шумов и его можно использовать для описания сложности ландшафта, его изменения со временем и привязки двух смежных снимков. В докладе приводятся примеры таких графов, обсуждаются их численные характеристики и возможные приложения