Методы дискретной римановой геометрии в анализе цифровых изображений

В докладе изложено применение методов дискретной дифференциальной геометрии и вычислительной топологии для анализа цифровых изображений. Предлагаемый подход состоит из двух этапов. Прежде всего, из цифрового изображения методами TDA извлекаются топологические инварианты, числа Бетти [1,2]. Они содержат информацию о появлении и исчезновении топологических свойств: компонент связности и дыр при фильтрации изображения по шкале яркости или контраста. Интервал этой шкалы, измеряющей «время жизни» свойства, называют его персистентностью. Чаще всего информации о персистентных числах Бетти представляют в форме облака точек на диаграмме персистентности (PD). Векторизация PD с помощью диффузного ядра позволяет получить так называемое персистентное изображение как оценку pdf для PD[3] . На втором этапе, мы используем представление полученных pdf на римановой сфере. Здесь, метрика Фишера-Рао приводит к гильбертову скалярному произведению полуплотностей (квадратных корней из pdf) на касательном расслоении сферы. Этот подход позволяет сравнивать и усреднять изображения, в ясном геометрическом контексте, не прибегая к энтропийным мерам[4]. Рамки применения подхода позволяют использовать его для любых подходах, использующих оценки pdf. Мы иллюстрируем эту технику для диагностики для ДДЗ водно-болотных угодий, расположенных в аридных зонах и отличающихся чрезвычайно высокой временной вариабельностью.