Техника снижения ранга неэрмитовости оператора деконволюции изображения высокого разрешения для коррекции его спектрального представления

Прогнозируя предельно допустимые условия орбитальной съемки (ПДУОС) (в оптическом диапазоне для выбранного аппарата) приходится сталкиваться не только с анализом формулировок эксплуатационных особенностей аппарата и оценок возможностей целевой дообработки, но в первую очередь с отсутствием в обозримой на сегодня печати базовых понятийных категорий для ПДУОС. С учетом развиваемой в ряде работ технологии цифровой деконволюции сформированных постфактум изображений с целью коррекции или даже реанимации резкости и поддерживаемого пространственного разрешения на ареале все изображения рассматриваются как элементы конечномерного Гильбертова пространства с определенными в пространствах операторами конволюции и деконволюции (спектральное представление последнего нередко имеет запись в виде формулы Винера-Тихонова и продолжается в итеративной форме до формул вида Ван Циттера) (Винтаев, Ушакова, 2018).
На изображениях высокого разрешения аппарата QuickBird с достаточно темными тенями от строений (фрагмент г. Тампа, штат Флорида, США) представлена модель технологии снижения ранга неэрмитового (с комплексными или чисто мнимыми собственными значениями) оператора деконволюции – возмущающей и согласованной с ПДУОС добавки к базовому оператору деконволюции (с вещественными собственными значениями).
В таком подходе процесс формирования изображения представляется процессом конволюции изображения (гипотетического или соответствующего требованиям высшего возможного качества), обратным процессу, порождаемому оператором деконволюции наблюдаемого изображения (одна из исходных форм конволюции – уравнения Фредгольма для регистрируемого и восстанавливаемого изображений).
Оба оператора кроме спектрального представления определяются и матрицей оператора. В этом контексте ПДУОС представляются возмущениями оператора конволюции изображения, создающими недопустимые подавления мод спектральных представлений оператора деконволюции и, как следствие, уменьшающие недопустимо радиус пространственно-частотного спектра (ПЧС) изображения (Макриденко и др., 2017).
В работе рассматриваются следующие модели ПДУОС: существенное падение освещенности (или радиометрического разрешения), появление на изображении достаточно контрастных теней, возникновение высокоэнергетической и неинвариантной к трансляциям функции рассеяния точки.
Описанные ПДУОС представляются аддитивными (и/ или мультипликативными) возмущениями операторов конволюции мнимой составляющей в комплексном Гильбертовом пространстве. Этим нарушается свойство эрмитовости оператора, т.к. проекция его образа на изображение уже не является вещественным числом.
При обращении возмущенного с разложением в степенной ряд оператора конволюции (в соответствии с леммой Меррея о степенных рядах от операторов) выделяется оператор возмущения оператора деконволюции, т.е. мнимая составляющая, матрица которого имеет ранг неэрмитовости, связанный именно с диссипацией энергии на обрабатываемом изображении, а, следовательно, с диссипацией и его информативности. Физический смысл необходимости снижения ранга неэрмитовой составляющей оператора деконволюции дoстаточно прозрачен: ранг матрицы этого оператора соответствует размерности образа оператора, а размерность образа исчисляется в количестве независимых (ортогональных) отсчетов на изображении. Снижение их числа в комплексном Гильбертовом пространстве – это снижение части энергии (суммы квадратов отсчетов), ассоциируемой с диссипацией для данного изображения.
Целесообразно принять исходное положение: сумма диссипативной энергии на изображении и энергии, свободно интерпретируемой в доступную информацию в тракте, синтезированном для данного изображения инвариантна. Для преобразований значений ранга оператора отметим, что ядра интегральных операторов и их передискретизированные версии инициируют одну и ту же операцию, но с разными рангами операторов. Например, ядро интегрального оператора с отсчетами (1,-1) в первой строке может придать оператору ранг 2 и вычисляет по строке дифференциал, а ядро с отсчетами (1,1,1,1, -1,-1,-1,-1) в первой строке может придать оператору ранг 8 и также вычисляет дифференциал по строке на усредненном изображении по окрестности выбранной точки. Операции класса усреднения так или иначе выполняются , т.к. при любой описываемой обработке космические изображения нормализуются (преимущественно в соответствии с соотношением Коши-Буняковского), где и присутствует операция деления образа оператора на соответствующий коэффициент.
Далее в существенной для коррекции резкости изображения и близкой к высшим модам ПЧС полосе деконволюцию можно аппрокисимировать рядом из операторов дифференцирования нецелого порядка (Винтаев, Ушакова, 2018) с формулированием функционалов, регулирующих коэффициенты упомянутого ряда для коррекции оператора деконволюции изображения в состоянии ПДУОС на основе вычисления оценки разности исходного изображения, полученного при ПДУОС конволюцией и такого же изображения при выбранном коэффициенте снижения ранга оператора диссипации.
Оптимальное представление изображения (фрагмент г. Тампа, штат Флорида, США) соответствует снижению ранга оператора диссипации с ПДУОС по теням в два раза. При этом реализуется увеличение радиуса ПЧС в 1,3 раза с квазилогарифмическим видом кривой зависимости радиометрического разрешения от значений яркости. Изменение радиуса ПЧС и предпринятое изменение ранга коррелируют с ранее введенным для тракта зондирования соотношением неопределенности (Винтаев, Ушакова, 2018), связывающим погрешности оценок скорости движения изображения на фокальной плоскости и реализуемую полосу ПЧС при коррекции изображения. Для изображения фрагмента г. Тампа интегральный оператор диссипации реализуется с ядром в виде маски, повторяющей имеющиеся тени и перемножаемой на функцию принадлежности тени к соответствующим областям изображения – на символ Кронекера с заданными координатами. Ранг оператора снижается интерполяционным пересчетом элементов матрицы оператора в сетку с вдвое прореженными узлами расположения элементов новой матрицы. Снижается ранг итеративно на фоне минимизации возмущения инвариантности образа оператора, т.е. результата описанной выше основной операции, выполняемой исходным оператором.
Разработанная технология рекомендуется в более сложных (для визуального восприятия) случаях ПДУОС, когда приходится, например, для выявления диссипативного оператора привлекать модели рассеяния на ареалах в приближениях Кирхгофа, приближениях возмущений или в двухмасштабных приближениях, что отражено в демонстрации работы описываемой технологии на фрагментах космических изображений высокого разрешения QuickBird – Havana – industry – image – chip -- 0.6 m .
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ) в рамках научного проекта № 18-07-00201 «Разработка фундаментальных основ мягкого системного анализа и моделирования систем формирования и верификации космических изображений высокого и сверхвысокого разрешения по данным с группировок орбитальных аппаратов в неопределенных и предельно допустимых условиях орбитальных съемок».