Символические вычисления с помощью расширенных чисел и их применения в области космического мониторинга

Для удобства калькуляции символических выражений (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, дифференцирования или интегрирования, композиции, операции отношений и др.) их можно отобразить в многочлены, а те в свою очередь – в расширенные числа либо в большие арифметические числа (гуггологизмы). Цифры расширенных чисел - также расширенные числа, но меньшего порядка (коэффициенты многочлена от меньшего количества переменных). Примеры расширенных чисел - арифметические числа, гиперкомплексные числа и др.
Элементарные функции раскладываются в ряды Маклорена и аппроксимируются многочленами, которые отображаются в рациональные расширенные числа (по аналогии с рациональными арифметическими числами, в которых десятичная часть числа имеет период). Делению многочлена на многочлен также соответствует рациональное расширенное число, а возведению многочлена в рациональную степень – предположительно иррациональное (с отсутствием целой или дробной частей числа, описываемых детерминированными функциями), округляемое до рационального или целого.
Для возможности обработки информации на том или ином уровне возникает потребность в символических вычислениях. В частности, в области обработки аэрокосмической информации – при реставрации и геометрических преобразованиях изображений, кодировании информации, морфологической обработке, аппроксимации и интерполяции, регрессионном анализе и прогнозировании. Например, символическая калькуляция на базе многочленов и расширенных чисел как от одной, так и от большего числа переменных применима в технологии полиномиального, циклического кодирования, шифрования текстового сообщения используются примитивные многочлены. Функцию, приближаемую многочленом, можно отобразить в расширенное число, поэтому распознавание фигур объектов на спутниковых снимках проводится сравнением числа контура дешифрируемого объекта с числом эталонной фигуры. Преобразования сигналов (двухмерных, трёхмерных и др.) по некоторой функциональной цепи также выполнимо расчётом расширенного числа этой цепи.
Исследования проведены в рамках проекта Минобрнауки РФ № RFMEFI58317X0061.